L = [ ℓ 1 , 1 0 ℓ 2 , 1 ℓ 2 , 2 ℓ 3 , 1 ℓ 3 , 2 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ℓ n , 1 ℓ n , 2 … ℓ n , n − 1 ℓ n , n ] {\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}

được gọi là ma trận tam giác dưới hoặc ma trận tam giác trái và tương tự là ma trận có dạng

U = [ u 1 , 1 u 1 , 2 u 1 , 3 … u 1 , n u 2 , 2 u 2 , 3 … u 2 , n ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ u n − 1 , n 0 u n , n ] {\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}

được gọi là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác vuông. Ma trận tam giác dưới hoặc trái thường được biểu thị bằng biến L và ma trận tam giác trên hoặc phải thường được ký hiệu với biến U hoặc R.

Một ma trận có cả tam giác trên và dưới là đường chéo. Ma trận tương tự như ma trận tam giác được gọi là ma trận tam giác.

Tam giác trên được bảo tồn bởi nhiều thao tác:

• Tổng của hai ma trận tam giác trên là tam giác trên.
• Tích của hai ma trận tam giác trên là tam giác trên.
• Nghịch đảo của một ma trận tam giác trên, trong đó còn tồn tại, là tam giác trên.
• Tích của một ma trận tam giác trên và vô hướng là tam giác trên.

Cùng với những sự kiện này có nghĩa là các ma trận tam giác trên tạo thành một khối con của đại số kết hợp của ma trận vuông cho một kích thước nhất định. Ngoài ra, điều này cũng cho thấy rằng các ma trận tam giác trên có thể được xem như là một subalgebra Lie của đại số Lie của ma trận vuông có kích thước cố định, nơi Lie khung [a, b] được đưa ra bởi bộ chuyển mạch ab − ba Đại số Lie của tất cả các ma trận tam giác trên là một đại số Lie có thể giải được. Nó thường được gọi là một tập hợp con Borel của đại số Lie của tất cả các ma trận vuông.

Tất cả các kết quả này giữ nếu tam giác trên được thay thế bằng tam giác dưới trong suốt; đặc biệt là các ma trận tam giác dưới cũng tạo thành một đại số Lie. Tuy nhiên, các phép toán trộn ma trận tam giác trên và dưới không nói chung tạo ra ma trận tam giác. Chẳng hạn, tổng của một ma trận tam giác trên và dưới có thể là bất kỳ ma trận nào; tích của một tam giác dưới với ma trận tam giác trên cũng không nhất thiết phải là tam giác.

Ví dụ

Ma trận này

[ 1 4 1 0 6 4 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}

là tam giác trên và ma trận này

[ 1 0 0 2 8 0 4 9 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}}

là tam giác thấp hơn.